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“无限大数”奇妙而美妙的性质

发布时间:2019-07-02 22:53 来源:未知 编辑:admin

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  摘 要: 由希尔伯特旅馆悖论引出了无穷集合的比较问题, 数学家康托尔提出用一一对应准则 比较无穷集元素的个数。一个集合和它的真子集可以是等势的,建立了可数集的概念,无穷 集合之间还存在着无穷多个层次。 关键词:希尔伯特旅馆悖论;无穷集;一一对应;等势;可数集 希尔伯特旅馆内设无限个房间,所有的房间也都客满了。这时又有一位新客人想投宿。 旅馆主人就让 1 号房间的客人搬到 2 号房间, 2 号房间的客人搬到 3 号房间, 3 号房间的客人 搬到 4 号房间,这样继续移下去。这样一来,新客人就被安排住进了已空出来的 1 号房间。 再设想旅馆又客满了,这时又来了无穷多个人想投宿。旅馆主人怎么办呢?他让 1 号房 间的客人搬到 2 号房间,2 号房间的客人搬到 4 号房间,3 号房间的客人搬到 6 号房间,这样 继续下去。现在,所有的单号房间都空出来了,新来的无穷多位客人可以住进去,问题解决 了。 这就是大数学家大卫?希尔伯特提出的著名悖论。 虽然叫做悖论, 但它在逻辑上是完全正 确的,意大利数学家伽利略在他的最后一本科学著作《两种新科学》中也提到一个问题:正 整数集{1,2,3,4?}和平方数集{1,4,9,16?}哪个大呢?由高中的集合知识我们知道集 合的真子集的元素个数一定小于全集元素个数,那么奇数号房间数应小于房间总数。问题出 现在哪呢?因为这是一个与无限有关的悖论,有限集合的真子集元素的个数一定小于全集元 素个数。而无限集合与有限集合的性质并不相同。无限集合与无限集合又应如何比较呢?无 限集是如何定义的呢?高中集合说集合中元素是有限的,集合叫有限集,集合中元素是无限 的,那么集合就叫无限集。我们熟悉的实数集、自然数集都是无限集。那么无限集的本质是 什么?它是否具备有限集合所具有的性质。 集合是初中升高中所学的第一个数学概念,这门研究集合的数学理论在现代数学中被称 为集合论,它是数学的一个基本分支,在数学中占据着一个极其独特的地位。其创始人是德 国数学家康托尔, 他也以其集合论的成就被列为二十世纪数学发展史上影响最深的学者之一。 十七世纪数学中出现了一门新的分支:微积分。一些基本概念如极限、实数、级数等的研究 都涉及无穷多个元素组成的集合,这样就导致了集合论的建立,狄利克雷、黎曼等人都研究 过这方面的问题,但只有康托尔在这一过程中系统发展了一般点集的理论,并开拓了一个全 新的数学研究领域。 1872 年康托尔开始提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是:把若干确定的有区别 的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物 称为该集合的元素。最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究。他把无穷集 这一词汇引入数学, “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母 n 来表示。 ”康 托尔开始关注这样的问题:像自然数那样的无穷集合和像实数集那样的无穷集合存在着怎样 的关系?他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。1873 年 11 月 29 日,康托尔在给 戴德金的信中将上述问题以更明显的形式提出来:全体正整数集合 n 和全体实数集合 r 能否 建立一一对应?这个问题看起来似乎不成问题,因为 n 是离散的,r 是连续的,但康托尔认 为这个问题也许并不是那么简单,不能过分相信直觉。 1878 年康托尔明确提出了“基数”或“等势”的概念:给定两个集合 m 和 n,如果能根 据某种规则在它们之间建立起一一对应关系(即对于其中一集合的每个元素,另一个集合中 有且仅有一个元素与之对应) ,就称这两个集合有相同的“基数”或者说“等势” 。由于一个 无穷集可以和它的真子集建立一一对应,如正整数和正偶数之间存在一一对应关系,也就是 说无穷集合可以和它的真子集等势,即个数相同。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾, 而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在这个定义下,正整数集{1,2,3,4?}和正偶数集 {2,4,6,8?}之间具有相同个数,他称其为可数集。可数集(countable set)是能与自然 数集 n 建立一一对应的集合,又称可列集。1895 年他证明了有理数集是可数的,他还证明了 全体实代数的集合也是可数的,而直觉上实代数似乎要比有理数多得多。他证明了实数集的 势大于自然数集。他证明在无穷集之间还存在着无穷多个层次,对无穷大建立了一个完整的 序列,他称为“超限数” ,他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数, “阿列 夫零”表示自然数集的基数,2 的“阿列夫零”次幂表示实数集的基数,最终他建立了关于 无限的阿列夫谱系,它可以无限延长下去。这种观念在数学上称为实无限思想。康托尔的实 无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击。然而康托尔并未就此止步,他以前所未有的 方式,继续正面探讨无穷。他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论,创立了令人振奋 的、意义十分深远的理论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。 中学数学中学习的只是集合论的最基础知识,对于复杂而重要的无穷集合的性质课本上 并未涉及。在学习过程中,学生或许觉得一切都很简单,根本无法想象它在诞生之日起所遭 到的激烈反对,康托尔成为这一激烈争论的牺牲品,在猛烈的攻击与过度的用脑思考中,他 得了精神分裂症,几次陷入精神崩溃。然而集合论前后历经二十余年,最终获得了世界的公 认。康托尔集合论的建立,不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑,甚至还是人类思维发展 史上的一座里程碑。

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